Soluţii corecte primite de la Zoltan Szabo şi Ştefan Gaţachiu.

Szabo Zoltan:

Combinațiile sunt legate după anumite reguli. Aceste reguli realizează între combinații o relație ce nu este nici reflexivă, nici simetrică pe care o voi nota sugestiv cu „=>” (a => b).

Reversul unei combinații „a” (literă mică) voi nota cu „A” (literă mare) (adică dacă a=1234, atunci A=4321).

O combinație poate fi corectă, neutră sau greșită.

Din proprietățile relației „=>” putem deduce anumite informații foarte utile.

Mai avem nota, conform căreia dintr-o combinație corectă obținem o altă combinație corectă.

1) Pentru orice combinație a avem: 2a2 => a

   de aici deducem:

      - dacă 2a2 este greșit, atunci a este neutru

      - dacă 2a2 este neutru, atunci a este greșit

      - dacă 2a2 este corect, atunci a este corect

 Aceasta este singura proprietate cunoscută prin care ni se oferă un punct de plecare de la o combinație oarecare.

 

2) Dacă a => b atunci 1a => 2b

 Această relație nu garantează faptul că dacă a și b ar fi corecte atunci și 1a și 2b ar fi corecte la rândul lor. Reciproca este la fel de adevărată..

Observăm însă, că astfel putem obține din două combinații mai scurte două combinații mai lungi cu câte o cifră.

 

3) Dacă a => b atunci 5a => B

 Putem obține din două combinații: una mai lungă cu o cifră și alta inversată care își păstrează lungimea.

 

4) Dacă a => b atunci 9a => bb

 Putem obține din două combinații: una mai lungă cu o cifră și alta care își dublează lungimea.

 

5) Dacă a => b atunci:

- dacă a este o combinaţie neutră atunci b este o combinaţie greşită, şi

- dacă a este o combinaţie greşită atunci b este o combinaţie neutră.

 

Studiind proprietățile de mai sus deducem următorele:

            1. În orice relație de forma a => a, combinația a este corectă. Fiind în relație cu ea însăși, nu poate fi în același timp și neutră și greșită.

            2. Pentru a genera combinația de lungime minimă este suficient să folosim doar cifrele 1,2,5,9.

                        2.a. În partea stânga a relațiilor, la combinație se poate adăuga cifra 1, 2, 5 sau 9.

           2.b. În partea dreaptă a relațiilor la combinație se poate adăuga doar cifra 2.

            3. Orice aplicare a proprietăților 1)-4) va crea combinații noi care au lungimi mai mari sau egale decât combinațiile din care au fost derivate.

            4. Dacă a=>b, atunci b este corect dacă și numai dacă a este corect.

Scopul nostru este să găsim cel puțin o combinație a care este în relație cu ea însăși (a => a). În acest scop ne vom folosi de proprietatea de multiplicare a combinației.

Fie c combinația noastră inițială, iar C reversul ei.

Cu ajutorul proprietăților 1-5 putem construi următoarele relații:

 

Încercarea 1:

        2c2 => c              (1) singura pornire posibilă

      92c2 => cc            (4) dublăm combinația c

    592c2 => CC          (3) inversăm cc și obținem CC

  1592c2 => 2CC        (2) adăugăm 2 la începutul lui CC

51592c2 => cc2          (3) inversăm 2CC obținând cc2

 Am ajuns la un punct unde putem alege convenabil combinația c astfel ca ultima relație să se refere la două combinații identice, deci să fie corecte.

51592c2=cc2, de aici rezultă că c=51592 iar combinația 51592515922 este corectă (lungime 11).

 

Încercarea 2.

        2c2 => c              (1) singura pornire posibilă

      52c2 => C             (3) inversăm combinația c și obținem C

    952c2 => CC          (4) dublăm combinația C și obținem CC

  1952c2 => 2CC        (2) adăugăm 2 la începutul lui CC

51952c2 => cc2          (3) inversăm 2CC obținând cc2

 51952c2=cc2, de aici rezultă că c=51952 iar combinația 51952519522 este corectă (lungime 11).

 

Încercarea 3.

        2c2 => c               (1) singura pornire posibilă

      52c2 => C              (3) inversăm combinația c și obținem C

    152c2 => 2C            (2) adăugăm 2 la începutul lui C

  9152c2 => 2C2C       (4) dublăm combinația 2C și obținem 2C2C

59152c2 => c2c2         (3) inversăm 2C2C obținând c2c2

 59152c2=c2c2, de aici rezultă că c=5915 iar combinația 5915259152 este corectă (lungime 10).

 

Încercarea 4.

        2c2 => c               (1) singura pornire posibilă

      52c2 => C              (3) inversăm combinația c și obținem C<