Motto: Dacă problema poate fi rezolvată, nu merită să-ți faci griji pentru ea. Dacă însă nu poate fi rezolvată, e inutil să-ți faci griji de ea (proverb japonez)
D. Cupa Mondială
Începe Cupa Mondială!!
La turneul final al campionatului mondial de fotbal toate echipele calificate sunt împărţite în grupe de câte 4 echipe. Într-o grupă fiecare joacă cu fiecare (în total sunt 6 meciuri). Pentru victorie se dau 3 puncte, iar pentru meci egal, 1 punct.
După jucarea celor 6 meciuri din grupe se obţine un vector (a, b, c, d) unde a este numărul de puncte obţinut de prima clasată, b – punctele celei de-a doua clasate (posibil b=a) etc.
Câţi vectori distincţi (a,b,c,d) sunt posibili?
Sursă: Macalestear potw, problema 1184 (primăvara 2014)
Notă: În problema originală mai era un punct suplimentar:
Fie p probabilitatea ca un meci să se termine la egalitate, iar 1-p probabilitatea (egală) ca una din cele două echipe să câştige. Care este atunci cel mai probabil vector care poate apare ? Dar cel mai puţin probabil ?
Logic
World Cup Groups
In soccer's World Cup, a group consists of four teams, each playing the other three once. A win is worth 3 points, a draw gives 1 point to each team, and a loss is worthless. After the 6 games, there is a vector (a, b, c, d) where a is the number of points obtained by the top team, b the points of the second team (possibly b=a), and so on. Each of a, b, c, d is an integer between 0 and 9, though of course a is at least 3 and the sum is between 12 and 18. How many distinct vectors (a,b,c,d) can arise?
Further thoughts: Assume p to be the probability that any game ends in a draw and equal probability of either team winning in the 1-p case that a game ends in a win. What is the most likely vector? The least likely? A reasonable value of p might be 1/5.
Real world query: Has it every happened in a world cup (or other major tournament with the same format) that all 6 games were draws, so that the points were (3,3,3,3)?